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整理番号 6374   (公開日 2013年01月18日) (カテゴリ バイオテクノロジー医学・薬学環境・エネルギー素材航空・宇宙大気・海洋土木・建築社会・文化・教育
偏微分方程式の数値解析-基礎理論から応用研究まで
●内容 本研究室では、コンピュータによる数値シミュレーションを前提とし、偏微分方程式を解くための数値的解析手法の開発と、その妥当性・実現性を研究している。研究の方向性には、理論指向と応用指向の二つがある。前者は、粘性非圧縮性流体の運動や、細胞性粘菌の凝集現象などを記述する非線形偏微分方程式を対象として、有限要素法、有限体積法の適用を研究している。特に、数値解の安定性や離散化パラメータに対する誤差の漸近的な挙動の解析(事前解析)、さらに要請される精度内で数値解を求めるための手法(事後解析) の開発・研究を行っている。後者、すなわち、科学技術計算への応用研究では、現実現象、数理モデル、計算モデルの三者の関係の正当性を数学的手法によって検証することを目標としている。具体的には、臨床医療問題に現れる流体問題、例えば、脳脊髄液の流れ問題などで、数理モデルの構成、数値解析手法(計算モデル)の設計、結果の妥当性の評価などで実績がある。数値シミュレーションは、コンピュータの内部で完結するものではなく、対象とする現象の数理モデル化、モデルの数学解析、近似と離散化、アルゴリズムの実装とプログラムの作成、データの可視化、実測データと計算結果の比較検討、信頼性の検証などの一連の過程であり、それらが数学という幹で強く繋がっているというのが本研究室の基本的な理解である。シミュレーションが研究の主な方法であり、かつ、数学的な妥当性の検証を必要としている企業等と共同研究が可能である。
●研究者
准教授 齊藤 宣一
大学院数理科学研究科 数理科学専攻
●画像


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数学的な正当性の保証の概念図

現実現象を数学モデルで表現し、そこから計算モデルを導き、コンピュータでシミュレーションをおこなう。これらの関係の正当性の検証は重要である。理論的に可能な部分(verification)と、経験と蓄積が必要な部分(validation)を明確に区別する必要がある。
(C) 齊藤 宣一

細胞性粘菌の凝集現象

細胞性粘菌の凝集現象を記述する非線型偏微分方程式系を有限体積法で計算したものである。計算スキームは、時間ステップをアダプティブに自動選択することで、解の正値性、体積保存等の性質を満たしている。また収束性が数学的に保証されている。
(C) 齊藤 宣一
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上記内容は、各研究者へのインタビューをもとに東京大学 産学協創推進本部で骨子をまとめたものです。
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